問題詳情:
設數列{an}的前n項和為Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)求*:數列{Sn+2}是等比數列.
【回答】
解:(1)因為a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),
所以當n=1時,a1=2×1=2;
當n=2時,a1+2a2=(a1+a2)+4,
所以a2=4;
當n=3時,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,
所以a3=8.
綜上,a2=4,a3=8.
(2)*:因為a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).①
所以當n≥2時,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
=(n-2)Sn-1+2(n-1).②
①-②,得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.
所以-Sn+2Sn-1+2=0,
即Sn=2Sn-1+2,
所以Sn+2=2(Sn-1+2).
因為S1+2=4≠0,所以Sn-1+2≠0,所以=2,
故{Sn+2}是以4為首項,2為公比的等比數列.
知識點:數列
題型:解答題