已知數列{an}，如果數列{bn}滿足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，則稱數列{bn}是數...

問題詳情：

已知數列{an}，如果數列{bn}滿足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，則稱數列{bn}是數列{an}的“生成數列”．

(1)若數列{an}的通項為an＝n，寫出數列{an}的“生成數列”{bn}的通項公式；

(2)若數列{cn}的通項為cn＝2n＋b(其中b是常數)，試問數列{cn}的“生成數列”{qn}是否是等差數列，請説明理由；

(3)已知數列{dn}的通項為dn＝2n＋n，求數列{dn}的“生成數列”{pn}的前n項和Tn.

【回答】

解：(1)當n≥2時，bn＝an＋an－1＝2n－1，

當n＝1時，b1＝a1＝1適合上式，

∴bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)qn＝

當b＝0時，qn＝4n－2，由於qn＋1－qn＝4，

所以此時數列{cn}的“生成數列”{qn}是等差數列．

當b≠0時，由於q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，

q3＝10＋2b，此時q2－q1≠q3－q2，

所以此時數列{cn}的“生成數列”{qn}不是等差數列．

(3)pn＝

當n>1時，Tn＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n－1＋2n－1)，

∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2n＋n2－4.

又n＝1時，T1＝3，適合上式，∴Tn＝3·2n＋n2－4.

知識點：數列

題型：解答題