問題詳情:
已知數列{an}中,Sn是它的前n項和,並且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.
(1)設bn=an+1-2an(n=1,2,…),求*:數列{bn}是等比數列;
(2)設cn=(n=1,2,…),求*:數列{cn}是等差數列.
【回答】
*:(1)因為Sn+1=4an+2,
所以Sn+2=4an+1+2,
兩式相減得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…),
即an+2=4an+1-4an,
變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an),
因為bn=an+1-2an(n=1,2,…),
所以bn+1=2bn,
由此可知,數列{bn}是公比為2的等比數列.
(2)由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,
得a2=5,b1=a2-2a1=3.
故bn=3·2n-1.
因為cn=(n=1,2,…),
所以cn+1-cn
將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,…).
由此可知,數列{cn}是公差d=的等差數列.
知識點:推理與*
題型:解答題