在△ABC的邊BC上取B′、C′兩點，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC．（1）如圖1中∠BAC為直角，∠BA...

問題詳情：

在△ABC的邊BC上取B′、C′兩點，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC．

（1）如圖1中∠BAC為直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（點B′與點C′重合），則△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，進而可得AB2+AC2＝     ；

（2）如圖2中當∠BAC為鋭角，圖3中∠BAC為鈍角時（1）中的結論還成立嗎？若不成立，則AB2+AC2等於什麼（用含用BC和B′C′的式子表示）？並説明理由．

（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，請你先判斷出△ABC的類型，再求出B′C′的長．

【回答】

解：（1）如圖1中，

∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，

∴＝，＝，

∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，

∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，

故*為BC2．

（2）不成立．

理由：如圖2中當∠BAC為鋭角時，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，

∴∴＝，＝，

∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，

∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．

圖3中∠BAC為鈍角時，BB′+CC′+B′C′＝BC．

AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．

（3）當AB＝5，AC＝6，BC＝9時，則AB2+AC2＜BC2，可知△ABC為鈍角三角形，

由圖3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，

∴52+62＝92﹣9B′C′，

∴B′C′＝．

知識點：相似三角形

題型：解答題