已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C...

問題詳情：

已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A  C．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點P作PE⊥AB，交BC於點E，過點Q作QF∥AC，分別交AD，OD於點F，G．連接OP，EG．設運動時間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問題：

（1）當t為何值時，點E在∠BAC的平分線上？

（2）設四邊形PEGO的面積為S（cm2），求S與t的函數關係式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請説明理由；

（4）連接OE，OQ，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，

∴AC＝＝6（cm），

∵OD垂直平分線段AC，

∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠BAC＝∠DCO，

∵∠DOC＝∠ACB，

∴△DOC∽△BCA，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），

∵PB＝t，PE⊥AB，

易知：PE＝t，BE＝t，

當點E在∠BAC的平分線上時，

∵EP⊥AB，EC⊥AC，

∴PE＝EC，

∴t＝8﹣t，

∴t＝4．

∴當t為4秒時，點E在∠BAC的平分線上．

（2）如圖，連接OE，PC．

S四邊形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）

＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）

＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．

（3）存在．

∵S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），

∴t＝時，四邊形OPEG的面積最大，最大值為．

（4）存在．如圖，連接OQ．

∵OE⊥OQ，

∴∠EOC+∠QOC＝90°，

∵∠QOC+∠QOG＝90°，

∴∠EOC＝∠QOG，

∴tan∠EOC＝tan∠QOG，

∴＝，

∴＝，

整理得：5t2﹣66t+160＝0，

解得t＝或10（捨棄）

∴當t＝秒時，OE⊥OQ．

知識點：各地中考

題型：綜合題