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已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P...

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問題詳情：

已知橢圓C：

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P...
＋
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第2張
＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第3張
.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交於M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第4張
＝
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第5張
＋
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第6張
，求點Q的軌跡方程．

【回答】

解　(1)由橢圓定義知

2a＝|PF1|＋|PF2|＝

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第7張
＝2
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第8張
.

所以a＝

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第9張
.

又由已知得，c＝1，所以橢圓C的離心率e＝

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第10張
＝
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第11張
＝
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第12張
.

(2)由(1)知，橢圓C的方程爲

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第13張
＋y2＝1.

設點Q的座標爲(x，y)．

(i)當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交於(0,1)，(0，－1)兩點，此時點Q的座標爲

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第14張
.

(ii)當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程爲y＝kx＋2.

因爲M，N在直線l上，可設點M，N的座標分別爲(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，則

|AM|2＝(1＋k2)x

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第15張
，|AN|2＝(1＋k2)x
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.

又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.

由

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得

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第18張
即
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第19張
＝
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第20張
＋
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＝
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第22張
.①

將y＝kx＋2代入

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第23張
＋y2＝1中，得

(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②

由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第24張
.

由②可知，x1＋x2＝

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第25張
，x1x2＝
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，

代入①中並化簡，得

x2＝

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.③

因爲點Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第28張
，代入③中並化簡，得10(y－2)2－3x2＝18.

由③及k2＞

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第29張
，可知0＜x2＜
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第30張
，

即x∈

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又

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第32張
滿足10(y－2)2－3x2＝18，

故x∈

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.

由題意知點Q(x，y)在橢圓C內，所以－1≤y≤1，

又由10(y－2)2＝18＋3x2有

(y－2)2∈

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第34張
，且－1≤y≤1，則y∈
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第35張
.

所以點Q的軌跡方程爲10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第36張
，y∈
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別爲F1(－1,0)，F2(1,0)，且橢圓C經過點P... 第37張
.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題

Tags：橢圓 已知 F210 f1 1ab0
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