已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)判断函数f(x)的单调*,并用定义*;(3...

问题详情：

已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)求a,b的值;

(2)判断函数f(x)的单调*,并用定义*;

(3)当x∈[,3]时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.

【回答】

解:(1)因为f(x)在定义域R上是奇函数.

所以f(0)=0,

即=0,

所以b=1.

又由f(-1)=-f(1),即=-,

所以a=2,

检验知,当a=2,b=1时,原函数是奇函数.

(2)f(x)在R上单调递减.*:

由(1)知f(x)==-+,

任取x1,x2∈R,设x1<x2,

则f(x2)-f(x1)=-=,

因为函数y=2x在R上是增函数,

且x1<x2,

所以-<0,

又(+1)(+1)>0,

所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),

所以函数f(x)在R上单调递减.

(3)因为f(x)是奇函数,从而不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x),

因为f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,

即对一切x∈[,3]有k<恒成立,

设g(x)==()2-2·,

令t=,t∈[,2],

则有h(t)=t2-2t,t∈[,2],

所以g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,

所以k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).

知识点：基本初等函数I

题型：解答题