已知函數，，,令.（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若關於的不等式恆成立，求整數的最小值.

問題詳情：

已知函數，，,令.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若關於的不等式恆成立，求整數的最小值.

【回答】

解：（1）定義域為，

①當時恆成立，在上是增函數.

②當時令

令

增區間： ，減區間：                       …… 6分

（2）法一：令.

所以.

當時，因為，所以所以在上是遞增函數，

又因為.所以關於的不等式不能恆成立.

當時，.令得，

所以當時，；當時，，

因此函數在是增函數，在是減函數.

故函數的最大值為.

令，因為，，

又因為在上是減函數，所以當時，.

所以整數的最小值為2.                             …… 12分

法二：由恆成立知恆成立，

令，則，

令，因為，，則為增函數.

故存在，使，即，

當時，，為增函數，當時，，為減函數.

所以，

而，所以，所以整數的最小值為2.                 

知識點：導數及其應用

題型：解答題