問題詳情:
已知函數.
(Ⅰ)當時,求函數 的單調區間;
(Ⅱ)當時,不等式恆成立,求實數的取值範圍.
(Ⅲ)求*:(,是自然對數的底數).
【回答】
解:(Ⅰ)當時,,
由解得,由解得,
故函數的單調遞增區間為,單調遞減區間為
(Ⅱ)因當時,不等式恆成立,即恆成立,設
,只需即可.
由,
(ⅰ)當時,,當時,,函數在上單調遞減,
故成立;
(ⅱ)當時,由,因,所以,
①若,即時,在區間上,,則函數在上單調遞增,在上無最大值(或:當時,),此時不滿足條件;
②若,即時,函數在上單調遞減,在區間上單調遞增,同樣在上無最大值,不滿足條件;
(ⅲ)當時,由,∵,∴,
∴,故函數在上單調遞減,故成立.
綜上所述,實數的取值範圍是.
(Ⅲ)據(Ⅱ)知當時,在上恆成立,又,
∵
,
∴.
知識點:導數及其應用
題型:解答題