問題詳情:
已知函數.
(1)求函數的單調區間和最小值;
(2)若函數在上的最小值為,求的值;
(3)若,且對任意恆成立,求的最大值.
【回答】
解:(1)的單調增區間為,單調減區間為,
(2),,
Ⅰ.當時,,在上單調遞增,,所以,捨去.
Ⅱ.當時,在上單調遞減,在上單調遞增,
①若,在上單調遞增,,所以,捨去,
②若,在上單調遞減,在上單調遞增,所以,解得.
③若,在上單調遞減,,所以,捨去,
綜上所述,.
(3)法一:由題意得:對任意恆成立,即對任意恆成立.
令,則,令,則,
所以函數在上單調遞增,
因為方程在上存在唯一的實根,且,當時,,即,
當時,,即.
所以函數在上遞減,在上單調遞增.
所以
所以,又因為,故整數的最大值為3.
法二:直接構造函數
令
① 當時,在上恆成立,在上恆成立,
;
② 當時,令
當變化時,、變化情況如下表:
x | |||
- | 0 | + | |
減函數 | 極小值 | 增函數 |
即
即
同法一
的最大值是3
知識點:導數及其應用
題型:解答題