正方形內“奇妙點”及*質探究定義：如圖1，在正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓O，以D為圓心,DA為半徑作，...

問題詳情：

正方形內“奇妙點”及*質探究

定義：如圖 1，在正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓O，以D為圓心,DA 為半徑作，與半圓O交於點P.我們稱點P為正方形ABCD的一個“奇妙點”.過奇妙點的多條線段與正方形 ABCD無論是位置關係還是數量關係，都具有不少優美的*質值得探究.

*質探究：如圖 2，連接DP並延長交AB於點E，則DE為半圓O的切線.

*：連接OP，OD.

由作圖可知，DP=DC，OP=OC，

又∵OD=OD.

 ∴△OPD≌△OCD.（SSS）

 ∴∠OPD=∠OCD=90°．

∴DE 是半圓O的切線.

問題解決：

（1）如圖3，在圖2的基礎上，連接OE.請判斷∠BOE 和∠CDO的數量關係，並説明理由；

（2）在（1）的條件下，請直接寫出線段DE，BE，CD 之間的數量關係；

（3）如圖 4，已知點P為正方形ABCD的一個“奇妙點”，點O為BC的中點，連接DP並延長交AB於點E，連接CP並延長交AB於點F，請寫出BE和AB的數量關係，並説明理由；

（4）如圖5，已知點E，F，G，H 為正方形ABCD的四個“奇妙點”.連接AG，BH， CE，DF，恰好得到一個特殊的“趙爽弦圖”.請根據圖形，探究並直接寫出一個不全等的幾何圖形面積之間的數量關係

【回答】

解：（1）∠BOE=∠CDO……………………………………………………………1分

理由如下：

∵△OPD≌△OCD.

∴∠OPD=∠OCD=90°，∠POD=∠COD，∠CDO=∠PDO= ∠PDC.

∴∠POC+∠PDC=360°－∠OPD－∠OCD =180°.………………………………………2分

∵∠POC+∠BOP=180°，

∴∠BOP=∠PDC.……………………………………………………………………………3分

在 Rt△POE 和 Rt△BOE 中

∵OE=OE，OP=OB（由作圖得出）.

∴△POE≌△BOE.

∴∠POE=∠BOE= ∠BOP…………………………………………4分

∵∠CDO=∠PDO=∠PDC.

 ∴∠BOE=∠CDO.…………………………………………………………………………5分

（2）線段DE，BE，CD 之間的數量關係是DE=BE+CD………………………………7分

（3）如答圖，連接OE，OD，

由（1）可知，∠BOE=∠CDO.

又∵∠B=∠OCD=90°，點O為BC的中點，

 ∴tan∠BOE=tan∠CDO

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC.

（4）*不唯一，例如，△ABH的面積等於正方形EFGH的面積；正方形EFGH的面積等於正方形ABCD面積的等等.…………………………………12分

知識點：未分類

題型：未分類