已知函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）*函數存在唯一的極大值點，且.

問題詳情：

已知函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求，的值；

（2）*函數存在唯一的極大值點，且.

【回答】

（1）（2）*見解析

【分析】

（1）求導，可得（1），（1），結合已知切線方程即可求得，的值；

（2）利用導數可得，，再構造新函數，利用導數求其最值即可得*．

【詳解】

（1）函數的定義域為，，

則（1），（1），

故曲線在點，（1）處的切線方程為，

又曲線在點，（1）處的切線方程為，

，；

（2）*：由（1）知，，則，

令，則，易知在單調遞減，

又，（1），

故存在，使得，

且當時，，單調遞增，當，時，，單調遞減，

由於，（1），（2），

故存在，使得，

且當時，，，單調遞增，當，時，，，單調遞減，

故函數存在唯一的極大值點，且，即，

則，

令，則，

故在上單調遞增，

由於，故（2），即，

．

【點睛】

本題考查導數的幾何意義以及利用導數研究函數的單調*，極值及最值，考查推理論*能力，屬於中檔題．

知識點：導數及其應用

題型：解答題