設函數，為正實數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求*：；（3）若函數有且只有個零點，求的值．

問題詳情：

設函數，為正實數．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求*：；

（3）若函數有且只有個零點，求的值．

【回答】

（1）當時，，則，

所以，又，

所以曲線在點處的切線方程為

   （2）因為，設函數，

則，  

令，得，列表如下：

所以的極大值為．

所以．

（3），，

令，得，因為，

所以在上單調增，在上單調減．

所以．

設，因為函數只有1個零點，而，

所以是函數的唯一零點．

當時，，有且只有個零點，

此時，解得．

下*，當時，的零點不唯一．

若，則，此時，即，則．

由（2）知，，又函數在以和為端點的閉區間上的圖象不間斷，

所以在和之間存在的零點，則共有2個零點，不符合題意；

若，則，此時，即，則．

同理可得，在和之間存在的零點，則共有2個零點，不符合題意．

因此，所以的值為．

知識點：不等式

題型：解答題