已知函數.（I）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的極值；（II）當時，若函數在區間上的最小值為，求的值；（...

問題詳情：

已知函數.

（I）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的極值；

（II）當時，若函數在區間上的最小值為，求的值；

（III）討論函數零點的個數.

【回答】

解：（I），   …………1分

因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，

即，解得.所以，       …………2分

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；…3分

當時，取得極小值.

極小值為.  ………4分

(II)當時，在（1，3）上恆成立，這時在[1，3]上為增函數

,   

令 ，得（捨去）,……5分  

當時，由得，,

若，有在上為減函數， 若有在上為增函數，

，令，得  ……7分 當時，在（1，3）上恆成立，這時在上為減函數，

∴.令 得（捨去）  綜上知,.    ……9分

(III)函數

令，得，   設

當時，，此時在上單調遞增；

當時，，此時在上單調遞減；

所以是的唯一極值點，且是極大值點，因此x=1也是的最大值點，

的最大值為.   ……11分

又，結合y=的圖像（如圖），可知

①     當時，函數無零點；

②當時，函數有且僅有一個零點；

③當時，函數有兩個零點；

④時，函數有且只有一個零點；  ………13分

綜上所述，當時，函數無零點；當或時，函數有且僅有一個零點；當時，函數有兩個零點.    ……14分

知識點：導數及其應用

題型：解答題