請你設計一個包裝盒，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去如圖(1)所示的*影部分的四個全等的等腰直角三...

問題詳情：

請你設計一個包裝盒，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去如圖(1)所示的*影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合於圖中的點P，正好形成一個如圖(2)所示的正四稜柱形狀的包裝盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

(1)若廣告商要求包裝盒側面積S(單位：cm2)最大，試問：x應取何值?

(2)若廣告商要求包裝盒容積V(單位：cm3)最大，試問：x應取何值?並求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

圖(1)                   圖(2)

(例2)

【回答】

【思維引導】本題求解的前提是找到盒子的底面邊長與高，繼而求得底面面積，再求其體積.而解題的關鍵是正確地求得“盒子”體積的函數式.因為題中涉及了三次函數的最值，所以要考慮結合導數求最值.

【解答】(1)根據題意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1 800(0<x<30)，

所以x=15 時包裝盒側面積S最大.

答：當x=15時，包裝盒的側面積最大，

(2)根據題意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0<x<30)，

所以V'=6x(20-x).

當0<x<20時，V'>0，V單調遞增；

當20<x<30時，V'<0，V單調遞減，

所以當x=20時，V取極大值也是最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為=.

答：x=20時包裝盒容積V最大，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為.

【精要點評】(1)本題主要考查空間想象能力、數學閲讀能力、運用數學知識解決實際問題的能力、建立數學函數模型求解的能力等，屬於中檔題；

(2)合理、正確地構建函數式是解決此類問題的關鍵，在給出函數式時要考慮到其定義域；

(3)涉及求高次函數的最值時要考慮結合導數求最值.

知識點：空間幾何體

題型：解答題