問題詳情:
已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函數,當x∈[-1,2]時,f(x)的最小值為1,且f(x)+g(x)為奇函數,求函數f(x)的表達式.
【回答】
解 設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
則f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3,
又f(x)+g(x)為奇函數,∴a=1,c=3.
∴f(x)=x2+bx+3,對稱軸x=-.
當-≥2,即b≤-4時,f(x)在[-1,2]上為減函數,
∴f(x)的最小值為f(2)=4+2b+3=1.
∴b=-3.∴此時無解.
當-1<-<2,即-4<b<2時,
f(x)min=f=3-=1,∴b=±2.
∴b=-2,此時f(x)=x2-2x+3,
當-≤-1,即b≥2時,f(x)在[-1,2]上為增函數,
∴f(x)的最小值為f(-1)=4-b=1.
∴b=3.∴f(x)=x2+3x+3.
綜上所述,f(x)=x2-2x+3,或f(x)=x2+3x+3.
知識點:函數的應用
題型:解答題