如圖四稜錐中，底面ABCD為平行四邊形，，=2PD=2，． （I）*：； （II）若，求二面角的餘弦值．

問題詳情：

如圖四稜錐中，底面ABCD為平行四邊形，，=2PD=2，．

  （I）*：；

  （II）若，求二面角的餘弦值．

【回答】

 解析：（I）在△ADB中，∵，=2，

則，由余弦定理得，

BD2=3      ∴ ，

∴ ，即 ，

又   ∵底面，平面，

∴ ，

     又   ∵，是平面內兩相交直線（或），

∴ 平面，

∵ 平面，

∴ ．

     （II）由（I）知，DA，DB，DP兩兩垂直，

       建立空間直角座標系則

，，，，，

設平面PAB的一個法向量為，

因為 ，，

所以 ，解之，，

所以

由於軸∥平面PCB，設平面PCB的一個法向量可為，

因為 ，所以 ，解之，所以 ）

設二面角的大小為（（此處要看觀察）），

因此，COSθ

故二面角的餘弦值為．

另解：（II）由（I）知，，又易知，

  且，所以平面，作於，連結，則（圖5），

設，則是二面角的平面角，

由於∥，所以平面，

則二面角是直角，

因此，二面角為，由（I）知，，，PD=1，

所以PB=2，√3/2，tanα，，

因此，，故二面角的餘弦值為．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題