如圖，在四稜錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．（1）求*：；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）求二面角...

問題詳情：

如圖，在四稜錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．

（1）求*：；

（2）求與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的餘弦值．

【回答】

（1）*見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理*平面，即*；

（2）以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角座標系，求平面的法向量，用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的餘弦值．

【詳解】（1）平面，平面，.

底面是矩形，，又，

平面，平面，

.

（2）以原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角座標系，如圖所示

則，

，

設平面的法向量，則

，即，令，則，.

設直線與平面所成的角為，則

.

所以與平面所成角的正弦值為.

（3）.

設平面的法向量，則

，即，令，則..

又平面的法向量.

設二面角的大小為，則為鋭角，

，

所以二面角的餘弦值為．

【點睛】本題考查線線垂直，考查用向量的方法求線面角和麪面角，考查學生的運算能力，屬於較難的題目.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題