問題詳情:
已知定義在(-∞,—1)∪(1,+∞)上的奇函數滿足:①f(3)=1;②對任意的x>2, 均有f(x)>0,③對任意的x>0,y>0.均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1) ⑴試求f(2)的值;
⑵*f(x)在(1,+∞)上單調遞增;
⑶是否存在實數a,使得f(cos2θ+asinθ)<3對任意的θ (0,π)恆成立?若存在,請求出a的範圍;若不存在,請説明理由。
【回答】
解:1)令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)
2) 任取X1>1,X2>1,X2>X1,則有 從而,
即
∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增……………(8分)
3)因為f(x)為奇函數,且在(1,+∞)上單調遞增,令X=Y=2,得f(5)=f(3)+f(3)=2,再令X=2,Y=4,得f(9)=f(3)+f(5)=3,
由因為f(x)為奇函數,所以,於是f(x)<3的解集為;
(-∞,-)∪(1,9),於是問題轉化為是否存在實數a,使對任意的θ∈(0,π)恆成立,令sinθ=t,則t∈(0,1]於是恆成立等價於恆成立.即恆成立,當t→0時,,故不存在實數a使對任意的
θ∈(0,π)恆成立.
1<cos2θ+asinθ<9恆成立等價於恆成立,得a>1,
t2-at+8>0,t∈(0,1]等價於,在(0,1]單調遞減,於是g(t)min=9,故a<9 於是存在a∈(1,9)使1<cos2θ+asinθ<9 對任意的θ∈(0,π)恆成立.
綜上知,存在實數a∈(1,9),使得對任意的θ∈(0,π)恆成立.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題