問題詳情:
已知函數,若同時滿足條件:
①∃x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②∀x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數a的取值範圍是( )
A. | (4,8] | B. | [8,+∞) | C. | (﹣∞,0)∪[8,+∞) | D. | (﹣∞,0)∪(4,8] |
【回答】
考點:
函數在某點取得極值的條件;利用導數求閉區間上函數的最值.
專題:
導數的綜合應用.
分析:
求導數,由①得到;
由②∀x∈(8,+∞),f(x)>0,故只需f(x)在(8,+∞)上的最小值大於0即可,
分別解出不等式即可得到實數a的取值範圍為4<a≤8.
解答:
解:由於,則=
令f′(x)=0,則,
故函數f(x)在(﹣∞,x1),(x2,+∞)上遞增,在(x1,x2)上遞減
由於∀x∈(8,+∞),f(x)>0,故只需f(x)在(8,+∞)上的最小值大於0即可,
當x2>8,即時,函數f(x)在(8,+∞)上的最小值為,此時無解;
當x2≤8,即時,函數f(x)在(8,+∞)上的最小值為,解得a≤8.
又由∃x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點,故解得a>4;
故實數a的取值範圍為4<a≤8
故*為 A
點評:
本題考查函數在某點取得極值的條件,屬於基礎題.
知識點:導數及其應用
題型:選擇題