如圖,四稜錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.(1)*:PB∥平面AE...

問題詳情：

如圖,四稜錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.

(1)*:PB∥平面AEC;

(2)設二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三稜錐E-ACD的體積.

【回答】

(1)*連接BD交AC於點O,連接EO.

因為ABCD為矩形,所以O為BD的中點.

又E為PD的中點,所以EO∥PB.

EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,

所以PB∥平面AEC.

(2)解因為PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.

如圖,以A為座標原點,的方向為x軸的正方向,||為單位長,建立空間直角座標系A-xyz,

則D(0,,0),E

設B(m,0,0)(m>0),

則C(m,,0),=(m,,0),

設n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則

可取n1=

又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設|cos<n1,n2>|=,即,解得m=

因為E為PD的中點,

所以三稜錐E-ACD的高為

三稜錐E-ACD的體積V=

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題