問題詳情:
已知定義域為R的函數是奇函數 (1)求a值; (2)判斷並*該函數在定義域R上的單調*; (3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恆成立,求實數k的取值範圍; (4)設關於x的函數F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點,求實數b的取值範圍.
【回答】
解:(1)由題設,需,∴a=1, ∴, 經驗*,f(x)為奇函數, ∴a=1. (2)減函數 *:任取x1,x2∈R,x1<x2,△x=x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=- =, ∵x1<x2 ∴0<<; ∴-<0,(1+)(1+)>0 ∴f(x2)-f(x1)<0 ∴該函數在定義域R 上是減函數. (3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k), ∵f(x)是奇函數,∴f(t2-2t)<f(k-2t2), 由(2)知,f(x)是減函數 ∴原問題轉化為t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0 對任意t∈R 恆成立, ∴=4+12k<0,得即為所求. (4)原函數零點的問題等價於方程f(4x-b)+f(-2x+1)=0有解, 由(3)知,4x-b=2x+1,即方程b=4x-2x+1有解 ∴4x-2x+1=(2x)2-2×2x=(2x-1)2-1≥-1,∴當b∈[-1,+∞)時函數存在零點.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題