已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.(1)求a,b的值;(2)判斷函數f(x)的單調*,並用定義*;(3...

問題詳情：

已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.

(1)求a,b的值;

(2)判斷函數f(x)的單調*,並用定義*;

(3)當x∈[,3]時,f(kx2)+f(2x-1)>0恆成立,求實數k的取值範圍.

【回答】

解:(1)因為f(x)在定義域R上是奇函數.

所以f(0)=0,

即=0,

所以b=1.

又由f(-1)=-f(1),即=-,

所以a=2,

檢驗知,當a=2,b=1時,原函數是奇函數.

(2)f(x)在R上單調遞減.*:

由(1)知f(x)==-+,

任取x1,x2∈R,設x1<x2,

則f(x2)-f(x1)=-=,

因為函數y=2x在R上是增函數,

且x1<x2,

所以-<0,

又(+1)(+1)>0,

所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),

所以函數f(x)在R上單調遞減.

(3)因為f(x)是奇函數,從而不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等價於f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x),

因為f(x)在R上是減函數,由上式推得kx2<1-2x,

即對一切x∈[,3]有k<恆成立,

設g(x)==()2-2·,

令t=,t∈[,2],

則有h(t)=t2-2t,t∈[,2],

所以g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,

所以k<-1,即k的取值範圍為(-∞,-1).

知識點：基本初等函數I

題型：解答題