定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為的上界．已知函數．（1）當時...

問題詳情：

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為的上界．已知函數．

（1）當時，求函數在上的值域，並判斷函數在上是否有上界，請説明理由；

（2）若，函數在是以為上界的有界函數，求實數的取值範圍；

（3）已知為正整數，當時，是否存在整數，使得對任意的，不等式恆成立？若存在，求出的值；若不存在，説明理由．

【回答】

【*】：解：（I）當時，，

易知在上單調遞減，∴．∴在上的值域為．∴不存在常數，使得成立，∴在上沒有上界．

（II） 由題意知，在上恆成立．令，

∴題意等價於在上恆成立．在上恆成立．．設 易知在上遞減．

令，有

∴在上遞增．∴，．∴實數的取值範圍是．

（III）當時，，∴題意等價於對任意的恆成立．∵當為正奇數時，；當為正偶數時，，

∴．∴當，即時，不存在滿足題意的；

當，即時，存在滿足題意的，且．

∵為正整數，∴．此時，，∵為整數，∴．

知識點：不等式

題型：解答題