如圖7，拋物線y＝－x2＋2x的對稱軸與x軸交於點A，點F在拋物線的對稱軸上，且點F的縱座標為．過拋物線上一點...

問題詳情：

如圖7，拋物線y＝－x2＋2x的對稱軸與x軸交於點A，點F在拋物線的對稱軸上，且點F的縱座標為．過拋物線上一點P（m，n）向直線y＝作垂線，垂足為M，連結PF． 　　（1）當m＝2時，求*：PF＝PM；

（2）當點P為拋物線上任意一點時，PF＝PM是否還成立？若成立，請給出*；若不成立，請説明理由．

【回答】

 解：（1）當m＝2時，n＝－22＋2×2＝0.

∴此時點P為拋物線與x軸的右交點．

 ∵PM⊥直線y＝，

∴PM＝． ………………………………………………2分

∵y＝－x2＋2x的對稱軸為直線x＝1，點F的縱座標為，

∴F（1，）．　……………………………………………3分

在△FAP中，∠FAP＝90°，

∴PF＝．

∴PF＝PM．　　………………………………………………4分

（2）PF＝PM仍然成立．理由如下：…………5分

過點P作PB⊥AF於點B．

當點B與點F重合時，n＝,

∴－m2＋2m＝，解得，m＝或．……6分

∴PF＝，

∵PM＝－＝．

∴PF＝PM．　…………………………………7分

當點B與點F不重合時，如圖．

∴BF＝，BP＝．　　　……………………………………8分

在△BFP中，∠PBF＝90°，

∴PF2＝BF2＋BP2．

PF2＝＋＝．……………9分

∵點P（m，n）在拋物線上，

∴，

∴PF2＝＝．

∵PM⊥直線y＝，P（m，n），

∴PM2＝（n－）2＝．

∴PF2＝PM2．

∴PF＝PM．

綜上，點P為拋物線y＝－x2＋2x上任意一點都有PF＝PM．　………10分

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題