已知命題A:函數f(x)=x2-4mx+4m2+2在區間[-1,3]上的最小值為2;命題B:若g(x)=且g(...

問題詳情：

已知命題A:函數f(x)=x2-4mx+4m2+2在區間[-1,3]上的最小值為2;

命題B:若g(x)=且g(x)>1對任意x∈R恆成立;

命題C:{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2-4≥0}.

(1)若A,B,C中至少有一個為真命題,試求實數m的取值範圍.

(2)若A,B,C中恰有一個為假命題,試求實數m的取值範圍.

【回答】

(1)因為f(x)=x2-4mx+4m2+2=(x-2m)2+2,

所以只有x=2m時,f(x)的最小值為2.

又因為f(x)在區間[-1,3]上的最小值為2,

所以-1≤2m≤3,所以-≤m≤,

所以命題A為真的條件是-≤m≤.

因為g(x)=

當x≥m時,g(x)=2x-m在[m,+∞)上單調遞增,g(x)min=g(m)=m;

當x<m時,g(x)=m=g(x)min,

所以x∈R時,g(x)的最小值為m,

所以命題B為真的條件是m>1.

因為{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2-4≥0},

所以m>2m+1或或

所以m<-1或m≥2或m∈∅,

所以命題C為真的條件是m<-1或m≥2.

因為命題A,B,C都為假的條件是

-1≤m<-,

所以命題A,B,C中至少有一個為真命題的條件是m<-1或m≥-.

(2)當A假,B,C為真時,m≥2;

當A真,B假,C為真時,m∈∅;

當A真,B真,C為假時,

1<m≤,

所以A,B,C中恰有一個為假命題的條件是m≥2或1<m≤.

知識點：常用邏輯用語

題型：解答題