《九章算術》中將底面的長方形且有一條側稜與底面垂直的四稜錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為蟞臑...

問題詳情：

《九章算術》中將底面的長方形且有一條側稜與底面垂直的四稜錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為蟞臑．在如圖所示的陽馬P﹣ABCD中，側稜PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，則當點E在下列四個位置：PA中點、PB中點、PC中點、PD中點時分別形成的四面體E﹣BCD中，蟞臑有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【回答】

B【考點】直線與平面垂直的*質．

【分析】分情況討論：（1）當點E在PC中點時，*BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即可得出結論；

（2）當點E在PA中點時：以D為原點，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸的正方向建立空間直角座標系，設PD=DC=BC=1，則可求BC，BE，EC三邊長不滿足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，故故四面體E﹣BCD不是蟞臑．

（3）當點E在PB中點時：易*△BCE不是直角三角形（同上），可得四面體E﹣BCD不是蟞臑．

（4）當點E在PD中點時：由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鼈臑．

【解答】*：（1）當點E在PC中點時：

因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

因為ABCD為正方形，所以BC⊥CD，

因為PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD，

因為DE⊂平面PCD，

所以BC⊥DE，

因為PD=CD，點E是PC的中點，

所以DE⊥PC，

因為PC∩BC=C，

所以DE⊥平面PBC，

由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，

即四面體EBCD是一個鼈臑，其四個面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；

（2）當點E在PA中點時：如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸的正方向建立空間直角座標系，

設PD=DC=BC=1，則：C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），E（，0，），

可求：BC=1，BE=，EC=，三邊長不滿足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，

故故四面體E﹣BCD不是蟞臑．

（3）如下圖當點E在PB中點時：易*△BCE不是直角三角形（同上），故四面體E﹣BCD不是蟞臑．

（4）如下圖當點E在PD中點時：

由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，

即四面體EBCD是一個鼈臑．

故選：B．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：選擇題