如圖1­5，四稜柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且A...

問題詳情：

 如圖1­5，四稜柱ABCD ­ A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.過A1，C，D三點的平面記為α，BB1與α的交點為Q.

圖1­5

(1)*：Q為BB1的中點；

(2)求此四稜柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；

(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大小．

【回答】

解： (1)*：因為BQ∥AA1，BC∥AD，

BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，

所以平面QBC∥平面A1AD，

從而平面A1CD與這兩個平面的交線相互平行，

即QC∥A1D.

故△QBC與△A1AD的對應邊相互平行，

於是△QBC∽△A1AD，

所以＝＝＝，即Q為BB1的中點．

(2)如圖1所示，連接QA，QD.設AA1＝h，梯形ABCD 的高為d，四稜柱被平面α所分成上下兩部分的體積分別為V上和V下，BC＝a，則AD＝2a.

圖1

V三稜錐Q ­A1AD＝×·2a·h·d＝ahd，

V四稜錐Q ­ABCD＝··d·＝ahd，

所以V下＝V三稜錐Q ­A1AD＋V四稜錐Q ­ABCD＝ahd.

又V四稜柱A1B1C1D1 ­ABCD＝ahd，

所以V上＝V四稜柱A1B1C1D1 ­ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.

(3)方法一：如圖1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E.

又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，

所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E.

所以∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角．

因為BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA.

又因為梯形ABCD的面積為6，DC＝2，

所以S△ADC＝4，AE＝4.

於是tan∠AEA1＝＝1，∠AEA1＝.

故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為.

方法二：如圖2所示，以D為原點，DA，分別為x軸和z軸正方向建立空間直角座標系．

設∠CDA＝θ，BC＝a，則AD＝2a.

因為S四邊形ABCD＝·2sin θ＝6，

所以a＝.

圖2

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題