如圖1，平面直角座標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+4x與x軸交於O、A兩點．直線y＝kx+m經過拋物線的頂...

問題詳情：

如圖1，平面直角座標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+4x與x軸交於O、A兩點．直線y＝kx+m經過拋物線的頂點B及另一點D（D與A不重合），交y軸於點C．

（1）當OA＝4，OC＝3時．

①分別求該拋物線與直線BC相應的函數表達式；

②連結AC，分別求出tan∠CAO、tan∠BAC的值，並説明∠CAO與∠BAC的大小關係；

（2）如圖2，過點D作DE⊥x軸於點E，連接CE．當a為任意負數時，試探究AB與CE的位置關係？

【回答】

（1）①根據題意得出A、C的座標，由A的座標可求出拋物線解析式及其頂點B座標，根據B、C座標可得直線解析式；

②tan∠CAO＝＝，先根據勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，再根據tan∠BAC＝可得*；

（2）根據y＝ax2+4x求得A（﹣，0）、B（﹣，﹣），先求得tan∠BAO＝2，再將B（﹣，﹣）代入y＝kx+m得m＝，據此知點C（0，），由可求得E（，0），根據tan∠CEO＝＝2知∠BAO＝∠CEO，從而得出*．

解：（1）①∵OA＝4，OC＝3，∴A（4，0），C（0，3），

將A（4，0）代入y＝ax2+4x，得：16a+16＝0，解得a＝﹣1，

則y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴B（2，4），

將B（2，4），C（0，3）代入y＝kx+m，得：，解得，∴y＝x+3；

②tan∠CAO＝＝，

∵AC2＝（0﹣4）2+（3﹣0）2＝25，BC2＝（2﹣0）2+（4﹣3）2＝5，AB2＝（2﹣4）2+（4﹣0）2＝20，∴AC2＝BC2+AB2，且BC＝，AB＝2，

∴△ABC是直角三角形，其中∠ABC＝90°，則tan∠BAC＝＝＝，

∵tan∠CAO＞tan∠BAC，∴∠CAO＞∠BAC．

（2）AB∥CE，理由如下：

由y＝ax2+4x＝0得x1＝0，x2＝﹣，則A（﹣，0），

又y＝ax2+4x＝a（x+）2﹣，

∴頂點B的座標為（﹣，﹣），則tan∠BAO＝＝2，

將B（﹣，﹣）代入y＝kx+m，得：﹣ +m＝﹣，解得m＝，

∴點C（0，），即OC＝，

由得x＝﹣或x＝，

∴E（，0），∴OE＝，

∴tan∠CEO＝＝＝2，

∴tan∠BAO＝tan∠CEO，

∴∠BAO＝∠CEO，

∴AB∥CE．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題