問題詳情:
已知四稜錐中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為a的菱形,∠BAD=120°,PA=b.
(I)求*:平面PBD⊥平面PAC;
(II)設AC與BD交於點O,M為OC中點,若二面角O﹣PM﹣D的正切值為,求a:b的值.
【回答】
考點:
平面與平面垂直的判定;與二面角有關的立體幾何綜合題.
專題:
綜合題;空間向量及應用.
分析:
(I)根據線面垂直的判定,*BD⊥平面PAC,利用面面垂直的判定,*平面PBD⊥平面PAC.
(II)過O作OH⊥PM交PM於H,連HD,則∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角,利用二面角O﹣PM﹣D的正切值為,即可求a:b的值.
解答:
(I)*:因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD
又ABCD為菱形,所以AC⊥BD,
因為PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC
因為BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.
(II)解:過O作OH⊥PM交PM於H,連HD
因為DO⊥平面PAC,由三垂線定理可得DH⊥PM,所以∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角
又,且
從而
∴
所以9a2=16b2,即.
點評:
本題考查線面垂直、面面垂直的判定,考查面面角,解題的關鍵是掌握線面垂直、面面垂直的判定,作出面面角.
知識點:平面向量
題型:解答題