在四稜錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．（Ⅰ）*：P...

問題詳情：

在四稜錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．

（Ⅰ）*：PC⊥BD

（Ⅱ）若E是PA的中點，且△ABC與平面PAC所成的角的正切值為，求二面角A﹣EC﹣B的餘弦值．

【回答】

*：（Ⅰ）因為底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）     又PB=PD，且O是BD中點，所以BD⊥PO．（2分）

PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）                 又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC．（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的*影，      所以∠OEB是BE與面PAC所成的角．

在Rt△BOE中，，BO=1，所以．   

在Rt△PEO中，，，所以．

所以，又，         所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．

又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（6分）

如圖，以建立空間直角座標系，

，B（0，1，0），，，，，．（9分）

設面BEC的法向量為，則，

即，得方程的一組解為，

即．（10分）

又面AEC的一個法向量為，（11分）

所以，所以二面角A﹣EC﹣B的餘弦值為．（12分）

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題