如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交於A1．（1）當∠A為70°時，∵∠AC...

問題詳情：

如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交於A1．

（1）當∠A為70°時，

∵∠ACD-∠ABD=∠______

∴∠ACD-∠ABD=______°

∵BACA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線

∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）

∴∠A1=______°；

（2）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交於A2，∠A2BC與A2CD的平分線交於A3，如此繼續下去可得A…、An，請寫出∠A與∠An的數量關係______；

（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構成的角，若∠A+∠D=230度，則∠F=______．

（4）如圖3，若E為BA延長線上一動點，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交於Q，當E滑動時有下面兩個結論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠Q-∠A1的值為定值．其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結論，並求出其值．

【回答】

（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2n∠An

（3）25°

（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確，Q+∠A1=180°．

【解析】

（1）根據角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解； （2）由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，於是有∠BAC=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出規律； （3）先根據四邊形內角和等於360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根據內角與外角的關係和角平分線的定義得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，從而得出結論； （4）依然要用三角形的外角*質求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形內角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的關係．

【詳解】

解：（1）當∠A為70°時， ∵∠ACD-∠ABD=∠A， ∴∠ACD-∠ABD=70°， ∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線， ∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD） ∴∠A1=35°； 故*為：A，70，35； （2）∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC， 而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC， ∴∠BAC=2∠A1=80°， ∴∠A1=40°， 同理可得∠A1=2∠A2， 即∠BAC=22∠A2=80°， ∴∠A2=20°， ∴∠A=2n∠An， 故*為：∠A=2∠An． （3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D）， ∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F， ∴360°-（α+β）=180°-2∠F， 2∠F=∠A+∠D-180°， ∴∠F=（∠A+∠D）-90°， ∵∠A+∠D=230°， ∴∠F=25°； 故*為：25°． （4）①∠Q+∠A1的值為定值正確． ∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線 ∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=

∠BAC， ∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分線， ∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC， ∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-∠BAC， ∴∠Q+∠A1=180°．

【點睛】

本題主要考查三角形的外角*質和角平分線的定義的運用，根據推導過程對題目的結果進行規律總結對解題比較重要．

知識點：與三角形有關的角

題型：解答題