如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF．以下結論...

問題詳情：

如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF．以下結論：

①AD∥BC；

②∠ACB=2∠ADB；

③∠ADC=90°﹣∠ABD；

④BD平分∠ADC；

⑤∠BDC=∠BAC．

其中正確的結論有（　　）

A．2個  B．3個   C．4個  D．5個

【回答】

C【考點】三角形的外角*質；平行線的判定與*質．

【分析】根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和可得∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，根據角平分線的定義可得∠EAC=2∠EAD，然後求出∠EAD=∠ABC，再根據同位角相等，兩直線平行可得AD∥BC，判斷出①正確；

根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADB=∠CBD，再根據角平分線的定義可得∠ABC=2∠CBD，從而得到∠ACB=2∠ADB，判斷出②正確；

根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADC=∠DCF，再根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和和角平分線的定義整理可得∠ADC=90°﹣∠ABD，判斷出③正確；

根據三角形的外角*質與角平分線的定義表示出∠DCF，然後整理得到∠BDC=∠BAC，判斷出⑤正確，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBD=∠ADB，∠ABC與∠BAC不一定相等，所以∠ADB與∠BDC不一定相等，判斷出④錯誤．

【解答】解：由三角形的外角*質得，∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，

∵AD是∠EAC的平分線，

∴∠EAC=2∠EAD，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，故①正確，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠CBD，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，故②正確；

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，

∵CD是∠ACF的平分線，

∴∠ADC=∠ACF=（∠ABC+∠BAC）=（180°﹣∠ACB）=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABD，故③正確；

由三角形的外角*質得，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，

∴∠DBC=∠ABC，∠DCF=∠ACF，

∴∠BDC+∠DBC=（∠ABC+∠BAC）=∠ABC+∠BAC=∠DBC+∠BAC，

∴∠BDC=∠BAC，故⑤正確；

∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠ADB，

∵∠ABC與∠BAC不一定相等，

∴∠ADB與∠BDC不一定相等，

∴BD平分∠ADC不一定成立，故④錯誤；

綜上所述，結論正確的是①②③⑤共4個．

故選C．

【點評】本題考查了三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和的*質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，平行線的判定與*質，熟記各*質並綜合分析，理清圖中各角度之間的關係是解題的關鍵．

知識點：平行線的*質

題型：選擇題