如圖，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動點，連接AB，BC，AC，線段AC交直線...

問題詳情：

如圖，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動點，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2於點D．設直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，則m+n的最大值為　   　．

【回答】

　．

 【分析】過B作BE⊥l1於E，延長EB交l3於F，過A作AN⊥l2於N，過C作CM⊥l2於M，設AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，得到DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，根據相似三角形的*質得到xy＝mn，y＝﹣x+10，由＝，得到n＝m，於是得到（m+n）最大＝m，然後根據二次函數的*質即可得到結論．

【解答】解：過B作BE⊥l1於E，延長EB交l3於F，過A作AN⊥l2於N，過C作CM⊥l2於M，

設AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，

∵BD＝4，

∴DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，

∵∠ABC＝∠AEB＝∠BFC＝∠CMD＝∠AND＝90°，

∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，

∴∠EAB＝∠CBF，

∴△ABE∽△BFC，

∴，即＝，

∴xy＝mn，

∵∠ADN＝∠CDM，

∴△CMD∽△AND，

∴＝，即＝，

∴y＝﹣x+10，

∵＝，

∴n＝m，

∴（m+n）最大＝m，

∴當m最大時，（m+n）最大＝m，

∵mn＝xy＝x（﹣x+10）＝﹣x2+10x＝m2，

∴當x＝﹣＝時，mn最大＝＝m2，

∴m最大＝，

∴m+n的最大值為×＝．

故*為：．

【點評】本題考查了平行線的*質，相似三角形的判定和*質，二次函數的*質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：填空題