如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊牆MN，某人利用舊牆和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已...

問題詳情：

如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊牆MN，某人利用舊牆和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠牆，另三邊一共用了100米木欄．

（1）若a＝20，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊牆AD的長；

（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值．

【回答】

【分析】（1）設AB＝xm，則BC＝（100﹣2x）m，利用矩形的面積公式得到x（100﹣2x）＝450，解方程得x1＝5，x2＝45，然後計算100﹣2x後與20進行大小比較即可得到AD的長；

（2）設AD＝xm，利用矩形面積得到S＝x（100﹣x），*得到S＝﹣（x﹣50）2+1250，討論：當a≥50時，根據二次函數的*質得S的最大值為1250m2；當0＜a＜50時，則當0＜x≤a時，根據二次函數的*質得S的最大值為50a﹣a2．

【解答】解：（1）設AB＝xm，則BC＝（100﹣2x）m，

根據題意得x（100﹣2x）＝450，解得x1＝5，x2＝45，

當x＝5時，100﹣2x＝90＞20，不合題意捨去；

當x＝45時，100﹣2x＝10，

答：AD的長為10m；

（2）設AD＝xm，

∴S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，

當a≥50時，則x＝50時，S的最大值為1250；

當0＜a＜50時，則當0＜x≤a時，S隨x的增大而增大，當x＝a時，S的最大值為50a﹣a2，

綜上所述，當a≥50時，S的最大值為1250m2；當0＜a＜50時，S的最大值為（50a﹣a2）m2．

【點評】本題考查了二次函數的應用：解此類題的關鍵是通過幾何*質確定出二次函數的解析式，然後確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值範圍．

知識點：實際問題與一元一次方程

題型：解答題