如圖，為的直徑，C為上的一點，AD與過點C的直線互相垂直，垂足為D，AC平分．（1）求*：DC為的切線；（2）...

問題詳情：

如圖，為的直徑，C為上的一點，AD與過點C的直線互相垂直，垂足為D，AC平分．

（1）求*：DC為的切線；

（2）若，求的半徑．

【回答】

（1）詳見解析；（2）2

【解析】

（1）連接OC，利用角平分線的*質及同圓半徑相等的*質求出∠DAC=∠OCA，得到AD∥OC，即可得到OC⊥CD得到結論；

（2）連接BC，先求出，得到∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，再根據為的直徑得到∠ACB=90°，再利用三角函數求出AB.

【詳解】

（1）連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∴∠ADC+∠OCD=180°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴DC為的切線；

（2）連接BC，

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，，

∴，

∴∠DAC=30°，

∴∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，

∵AB是的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AB=，

∴的半徑為2.

【點睛】

此題考查角平分線的*質定理，圓的切線的判定定理，圓周角定理，鋭角三角函數，直角三角形30°角的*質，正確連接輔助線解題是此題的關鍵.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題