如圖，AG是∠HAF的平分線，點E在AF上，以AE為直徑的⊙O交AG於點D，過點D作AH的垂線，垂足為點C，交...

問題詳情：

如圖，AG是∠HAF的平分線，點E在AF上，以AE為直徑的⊙O交AG於點D，過點D作AH的垂線，垂足為點C，交AF於點B．

（1）求*：直線BC是⊙O的切線；

（2）若AC=2CD，設⊙O的半徑為r，求BD的長度．

【回答】

【解答】（1）*：連接OD，

∵AG是∠HAF的平分線，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∵∠ACD=90°，

∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，

∵D在⊙O上，

∴直線BC是⊙O的切線；（4分）

（2）解：在Rt△ACD中，設CD=a，則AC=2a，AD=a，

連接DE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，

∴△ACD∽△ADE，

∴，

即，

∴a=，

由（1）知：OD∥AC，

∴，即，

∵a=，解得BD=r．（10分）

【點評】此題考查了切線的判定、勾股定理、相似三角形的判定與*質，根據相似三角形的*質列方程解決問題是關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題