如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交於...

問題詳情：

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交於點P，弦CE平分∠ACB，交AB於點F，連接BE．

（1）求*：AC平分∠DAB；

（2）求*：△PCF是等腰三角形；

（3）若AF＝6，EF＝2，求⊙O 的半徑長．

【回答】

（1）*：∵PD為⊙O的切線，

∴OC⊥DP，

∵AD⊥DP，

∴OC∥AD，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴AC平分∠DAB；

（2）*：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝45°，

∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，

∴∠OFE+∠OEF＝90°，

而∠OFE＝∠CFP，

∴∠CFP+∠OEF＝90°，

∵OC⊥PD，

∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°，

而∠OCF＝∠OEF，

∴∠PCF＝∠CFP，

∴△PCF是等腰三角形；

（3）解：連結OE．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，

∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，

∴∠BOE＝90°，即OE⊥AB，

設⊙O 的半徑為r，則OF＝6﹣r，

在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2，

∴r2+（6﹣r）2＝（2）2，

解得，r1＝4，r2＝2，

當r1＝4時，OF＝6﹣r＝2（符合題意），

當r2＝2時，OF＝6﹣r＝4（不合題意，捨去），

∴⊙O的半徑r＝4．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題