問題詳情:
已知函數,.
(1)當時,求函數的最小值;
(2)若,*:函數有且只有一個零點;
(3)若函數有兩個零點,求實數a的取值範圍.
【回答】
(1)當時,.
所以,(x>0).
令,得,
當時,;當時,,
所以函數在上單調遞減,在上單調遞增.
所以當時,有最小值.
(2)由,得.
所以當時,,
函數在上單調遞減,
所以當時,函數在上最多有一個零點.
因為當時,,,
所以當時,函數在上有零點.
綜上,當時,函數有且只有一個零點.
(3)解法一:
由(2)知,當時,函數在上最多有一個零點.
因為函數有兩個零點,所以.
由,得,令.
因為,,
所以函數在上只有一個零點,設為.
當時,;當時,.
所以函數在上單調遞減;在上單調遞增.
要使得函數在上有兩個零點,
只需要函數的極小值,即.
又因為,所以,
又因為函數在上是增函數,且,
所以,得.
又由,得,
所以.
以下驗*當時,函數有兩個零點.
當時,,
所以.
因為,且.
所以函數在上有一個零點.
又因為(因為),且.
所以函數在上有一個零點.
所以當時,函數在內有兩個零點.
綜上,實數a的取值範圍為.
下面*:.
設,所以,(x>0).
令,得.
當時,;當時,.
所以函數在上單調遞減,在上單調遞增.
所以當時,有最小值.
所以,得成立.
解法二:
由(2)知,當時,函數在上最多有一個零點.
因為函數有兩個零點,所以.
由,得關於x的方程,(x>0)有兩個不等
的實數解.
又因為,
所以,(x>0).
因為x>0時,,所以.
又當時,,即關於x的方程有且只有一個實數解.
所以.
知識點:不等式
題型:解答題