已知函數，．（1）若直線與的圖象相切，求實數的值；（2）設函數，試討論函數在上的零點個數；（3）設，且，求*：...

問題詳情：

已知函數，．

（1）若直線與的圖象相切，求實數的值；

（2）設函數，試討論函數在上的零點個數；

（3）設，且，求*：．

【回答】

解：（1）設直線與的圖象的切點為．

因為，所以，                              ……2分

所以．令，．

令得．

所以，所以，所以．                  ……4分

（2） ．令得．

令 ，．

當時，有最小值．

因為在上的圖象是連續不斷的，

當時，在上恆成立，所以在無零點；

當時， 所以在有且僅有一個零點；

當時，此時，因為，

所以在上有且僅有一個零點．

又因為，

令，，

則，，所以．

所以在上單調遞增，所以，

所以在單調遞增，所以，

所以在單調遞增，所以，

所以在恆成立，

所以，即，所以在上有且僅有一個零點．

所以在上有兩個零點．

綜上所述，時，在無零點；

          時，在有且僅有一個零點；

          時，在有兩個零點．                ……10分

（3）因為在上單調增，且，

所以，，

所以

．

令，．

因為，所以，所以在上單調遞增，

所以，

所以式成立，所以．              ……16分

知識點：導數及其應用

題型：解答題