已知函數.(1)若直線過點（1，0），並且與曲線相切，求直線的方程；(2)設函數在[1,e]上有且只有一個零點...

問題詳情：

已知函數.

(1)若直線過點（1，0），並且與曲線相切，求直線的方程；

(2)設函數在[1,e]上有且只有一個零點，求的取值範圍.(其中∈R，e為自然對數的底數)

【回答】

解：（1）設切點座標為（x0，y0），則y0=x0lnx0,切線的斜率為lnx0+1，

所以切線l的方程為y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切線l過點（1，0），

所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即lnx0=x0-1，設h（x）=lnx-x+1，則，x∈（0,1），，h（x）單調遞增，x∈（1,），，h（x）單調遞減，h（x）max=h(1)=0有唯一解，所以x0=1，y0=0.

所以直線l的方程為y=x-1.（4分）

（2）因為g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，

所以所求問題等價於函數g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上沒有零點.

因為.所以由lnx+1-a<00<x<ea-1,x>ea-1,

所以g（x）在（0，ea-1）上單調遞減，在（ea-1，）上單調遞增.（6分）

①當ea-1≤1，即a≤1時，g（x）在（1,e]上單調遞增，所以g（x）>g(1)=0.

此時函數g（x）在（1,e]上沒有零點，（7分）

②當1<ea-1<e,即1<a<2時，g（x）在[1,ea-1)上單調遞減，在（ea-1,e]上單調遞增，

又因為g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值為g（ea-1）=a-ea-1，

所以（i）當1<a≤時，g（x）在[1,e]上的最大值g（e）≥0，即此時函數g（x）在(1,e]上有零點.（10分）

（ii）當<a<2時，g（e）＜0，即此時函數g（x）在（1,e]上沒有零點，

③當e≤ea-1即a≥2時，g（x）在[1,e]上單調遞減，所以g（x）在[1,e]上滿足g（x）<g(1)=0，此時函數g（x）在(1,e]上沒有零點.（11分）

綜上，所求的a的取值範圍是a≤1或a>.(12分)

知識點：函數的應用

題型：解答題