如圖，在△ABC中，∠ABC＝，O為AB邊上一點，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2A...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠ABC＝，O為AB邊上一點，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.

(1)求*：平面PBD⊥平面COD；

(2)求直線PD與平面BDC所成角的正弦值.

【回答】

(1)*　∵OB＝OC，又∵∠ABC＝，

∴∠OCB＝，∴∠BOC＝.

∴CO⊥AB.2分

又PO⊥平面ABC，

OC⊂平面ABC，∴PO⊥OC.

又∵PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB＝O，

∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB.4分

又CO⊂平面COD，

∴平面PDB⊥平面COD.6分

(2)解　以OC，OB，OP所在*線分別為x，y，z軸，建立空間直角座標系，如圖所示.

設OA＝1，則PO＝OB＝OC＝2，DA＝1.

則C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)，

∴＝(0，－1，－1)，＝(2，－2，0)，＝(0，－3，1).8分

設平面BDC的一個法向量為n＝(x，y，z)，

∴∴

令y＝1，則x＝1，z＝3，∴n＝(1，1，3).10分

設PD與平面BDC所成的角為θ，

則sin θ＝

＝＝.

即直線PD與平面BDC所成角的正弦值為.12分

例4　

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題