如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，點E和F分別為B...

問題詳情：

如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，

BC＝2，AA1＝，BB1＝2，點E和F分別為BC和A1C的中點．

(1)求*：EF∥平面A1B1BA；

(2)求*：平面AEA1⊥平面BCB1；

(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小．

【回答】

解：

解：(1)*：如圖，連接A1B.

在△A1BC中，因為E和F分別是BC和A1C的中點，

所以EF∥BA1.

又因為EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.

(2)*：因為AB＝AC，E為BC的中點，所以AE⊥BC.

因為AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，

從而BB1⊥AE.

又因為BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1.

又因為AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.

(3)取BB1的中點M和B1C的中點N，連接A1M，A1N，NE.

因為N和E分別為B1C和BC的中點，

所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，

所以A1N∥AE，且A1N＝AE.

又因為AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，

從而∠A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角．

在△ABC中，可得AE＝2，

所以A1N＝AE＝2.

因為BM∥AA1，BM＝AA1，

所以A1M∥AB，A1M＝AB.

又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.

在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.

在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，

因此∠A1B1N＝30°.

所以，直線A1B1與平面BCB1所成的角為30°.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題