已知函數f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函數h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex...

問題詳情：

已知函數f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．

（1）函數h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈，求函數h（x）的最小值；

（2）對任意x∈上h'（x）≥0，h（x）遞增，h（x）的最小值為．

【回答】

②當﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2時，在x∈上h'（x）≤0，h（x）為減函數，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）為增函數．

∴h（x）的最小值為h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．

③當a﹣1≥1即a≥2時，在上h'（x）≤0，h（x）遞減，h（x）的最小值為h（1）=（1﹣a）e+a．

綜上所述，當a≤0時h（x）的最小值為，當0＜a＜2時h（x）的最小值為﹣ea﹣1+a，當a≥2時，h（x）最小值為（1﹣a）e+a．

（II）設，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．

①當a≥0時，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）遞增，F（x）的最小值為F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．

②當a≤﹣1時，令，解得：，此時

∴．∴F'（x）在[2，+∞）上遞減．∵F'（x）的最大值為F'（2）=a+1≤0，∴F（x）遞減．∴F（x）的最大值為F（2）=0，

即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．

③當﹣1＜a＜0時，此時，當時，F''（x）＞0，F'（x）遞增，當時，F''（x）＜0，F'（x）遞減．

∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由於F'（2）=a+1＞0，

∴在上F'（x）＞0，F（x）遞增，

又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，顯然不合題意．

綜上所述：a≤﹣1．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題