已知函數f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的圖象在它與x軸異於原點的交點M處的切線為l...

問題詳情：

已知函數f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的圖象在它與x軸異於原點的交點M處的切線為l1，g（x﹣1）的圖象在它與x軸的交點N處的切線為l2，且l1與l2平行．

（1）求a的值；

（2）已知t∈R，求函數y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；

（3）令F（x）=g（x）+g′（x），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，對於兩個大於1的正數α，β，存在實數m滿足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，並且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恆成立，求實數m的取值範圍．

【回答】

（1）y=f（x）圖象與x軸異於原點的交點M（a，0），f′（x）=2x﹣a，

y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）圖象與x軸的交點N（2，0），

g′（x﹣1）=由題意可得k l1=k l2，即a=1；（2分）

（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）

=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，

令u=xlnx，在 x∈[1，e]時，u′=lnx+1＞0，

∴u=xlnx在[1，e]單調遞增，0≤u≤e，

u2+（2t﹣1）u+t2﹣t圖象的對稱軸u=，拋物線開口向上，

①當u=≤0，即t≥時，y最小=t2﹣t，

②當u=≥e，即t≤時，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，

③當0＜＜e，即＜t＜時，

y最小=y|u==﹣；（5分）

（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，

F′（x）=≥0，

所以F（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，

∴當x≥1時，F（x）≥F（1）＞0，

①當m∈（0，1）時，有，

α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，

α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，

得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），

∴由f（x）的單調*知  0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），

從而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合題設．

②當m≤0時，

α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，

β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，

由f（x）的單調*知，

F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），

∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，與題設不符，

③當m≥1時，同理可得α≤x1，β≥x2，

得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，與題設不符，

∴綜合①、②、③得 m∈（0，1）．（12分）

知識點：*與函數的概念

題型：綜合題