請閲讀下列材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為a(a＞2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=C...

問題詳情：

請閲讀下列材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為a(a＞2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積．

小明發現，分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長線於點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形(如圖2) ．

請回答：

(1)若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形(無縫隙不重疊)，則這個新正方形的邊長為        ；

(2)求正方形MNPQ的面積．

(3)參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ．若S△RPQ=，求AD的長．

【回答】

解：(1)四個等腰直角三角形的斜邊長為a，則斜邊上的高為a， 每個等腰直角三角形的面積為：a•a=a2， 則拼成的新正方形面積為：4×a2=a2，即與原正方形ABCD面積相等 ∴這個新正方形的邊長為a．

(2)∵四個等腰直角三角形的面積和為a2，正方形ABCD的面積為a2， ∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2．

(3)如答圖1所示，分別延長RD，QF，PE交FA，EC，DB的延長線於點S，T，W． 由題意易得：△RSF，△QEF，△PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長均等於△ABC的邊長． 不妨設等邊三角形邊長為a，則SF=AC=a． 如答圖2所示，過點R作RM⊥SF於點M，則MF=SF=a， 在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×=a， ∴S△RSF=a•a=a2． 過點A作AN⊥SD於點N，設AD=AS=x， 則AN=AR•sin30°=x，SD=2ND=2ARcos30°=x， ∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2．

∵三個等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面積和=3S△RSF=3×a2=a2，正△ABC的面積為a2， ∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS， ∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=－(不合題意，捨去) ∴x=，即AD的長為．

知識點：解直角三角形與其應用

題型：解答題