閲讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB上，且∠BAC=2∠DCB...

問題詳情：

閲讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：

如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求*：AC=AD．

小明發現，除了直接用角度計算的方法外，還可以用下面兩種方法：

方法1：如圖2，作AE平分∠CAB，與CD相交於點E．

方法2：如圖3，作∠DCF=∠DCB，與AB相交於點F．

（1）根據閲讀材料，任選一種方法，*AC=AD．

用學過的知識或參考小明的方法，解決下面的問題：

（2）如圖4，△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，點F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延長DC、FE，相交於點G，且∠DGF=∠BDE．

①在圖中找出與∠DEF相等的角，並加以*；

②若AB=kDF，猜想線段DE與DB的數量關係，並*你的猜想．

【回答】

解：（1）方法一：如圖2中，作AE平分∠CAB，與CD相交於點E．

∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB．

∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°．

∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．

方法二：如圖3中，作∠DCF=∠DCB，與AB相交於點F．

∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF．

∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°．

∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B．

∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD．

（2）①如圖4中，結論：∠DEF=∠FDG．

理由：在△DEF中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°．在△DFG中，∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°．

∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，∴∠DEF=∠FDG．

②結論：BD=k•DE．

理由：如圖4中，如圖延長AC到K，使得∠CBK=∠ABC．

∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，∴∠EDF=∠ABK．

∵∠DFE=∠A，∴△DFE∽△BAK，∴ ==，∴BK=k•DE，∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．

∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，∴△BCD≌△BCK，∴BD=BK，∴BD=k•DE

知識點：各地中考

題型：解答題