問題詳情:
.閲讀下面材料:
小明遇到這樣一個問題:如圖1,△ABC中,AB=AC,點D在BC邊上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足為E,求*:BC=2AE.
小明經探究發現,過點A作AF⊥BC,垂足為F,得到∠AFB=∠BEA,從而可*△ABF≌△BAE(如圖2),使問題得到解決.
(1)根據閲讀材料回答:△ABF與△BAE全等的條件是 AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個)
參考小明思考問題的方法,解答下列問題:
(2)如圖3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC的中點,E為DC的中點,點F在AC的延長線上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的長;
(3)如圖4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點D、E分別在AB、AC邊上,且AD=kDB(其中0<k<),∠AED=∠BCD,求的值(用含k的式子表示).
【回答】
【考點】相似形綜合題.
【分析】(1)作AF⊥BC,判斷出△ABF≌△BAE(AAS),得出BF=AE,即可;
(2)先求出tan∠DAE=,再由tan∠F=tan∠DAE,求出CG,最後用△DCG∽△ACE求出AC;
(3)構造含30°角的直角三角形,設出DG,在Rt△ABH,Rt△ADN,Rt△ABH中分別用a,k表示出AB=2a(k+1),BH=a(k+1),BC=2BH=2a(k+1),CG=a(2k+1),DN=ka,最後用△NDE∽△GDC,求出AE,EC即可.
【解答】*:(1)如圖2,
作AF⊥BC,
∵BE⊥AD,∴∠AFB=∠BEA,
在△ABF和△BAE中,
,
∴△ABF≌△BAE(AAS),
∴BF=AE
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=BC,
∴BC=2AE,
故*為AAS
(2)如圖3,
連接AD,作CG⊥AF,
在Rt△ABC中,AB=AC,點D是BC中點,
∴AD=CD,
∵點E是DC中點,
∴DE=CD=AD,
∴tan∠DAE===,
∵AB=AC,∠BAC=90°,點D為BC中點,
∴∠ADC=90°,∠ACB=∠DAC=45°,
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°,
∵∠CDF=∠EAC,
∴∠F+∠EAC=45°,
∵∠DAE+∠EAC=45°,
∴∠F=∠DAE,
∴tan∠F=tan∠DAE=,
∴,
∴CG=×2=1,
∵∠ACG=90°,∠ACB=45°,
∴∠DCG=45°,
∵∠CDF=∠EAC,
∴△DCG∽△ACE,
∴,
∵CD=AC,CE=CD=AC,
∴,
∴AC=4;
∴AB=4;
(3)如圖4,
過點D作DG⊥BC,設DG=a,
在Rt△BGD中,∠B=30°,
∴BD=2a,BG=a,
∵AD=kDB,
∴AD=2ka,AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1),
過點A作AH⊥BC,
在Rt△ABH中,∠B=30°.
∴BH=a(k+1),
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BC=2BH=2a(k+1),
∴CG=BC﹣BG=a(2k+1),
過D作DN⊥AC交CA延長線與N,
∵∠BAC=120°,
∴∠DAN=60°,
∴∠ADN=30°,
∴AN=ka,DN=ka,
∵∠DGC=∠AND=90°,∠AED=∠BCD,
∴△NDE∽△GDC.
∴,
∴,
∴NE=3ak(2k+1),
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a(k+1)﹣2ak(3k+1)=2a(1﹣3k2),
∴=.
【點評】此題是相似形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和*質,相似三角形的*質和判定,等腰三角形的*質,等腰直角三角形的*質,中點的定義,解本題的關鍵是作出輔助線,也是本題的難點.
知識點:各地中考
題型:綜合題