問題詳情:
已知O為座標原點,F是雙曲線的左焦點,A,B分別為Γ的左、右頂點,P為Γ上一點,且PF⊥x軸,過點A的直線l與線段PF交於點M,與y軸交於點E,直線 BM與y軸交於點N,若|OE|=2|ON|,則 Γ的離心率為( )
A.3 B.2 C. D.
【回答】
A【考點】雙曲線的簡單*質.
【分析】根據條件分別求出直線AE和BN的方程,求出N,E的座標,利用|OE|=2|ON|的關係建立方程進行求解即可.
【解答】解:∵PF⊥x軸,
∴設M(﹣c,0),則A(﹣a,0),B(a,0),
AE的斜率k=,則AE的方程為y=(x+a),
令x=0,則y=,即E(0,),
BN的斜率k=﹣,則AE的方程為y=﹣(x﹣a),
令x=0,則y=,即N(0,),
∵|OE|=2|ON|,
∴2||=||,
即=,
則2(c﹣a)=a+c,
即c=3a,
則離心率e==3,
故選:A
【點評】本題主要考查雙曲線離心率的計算,根據條件求出直線方程和點N,E的座標是解決本題的關鍵.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:選擇題