問題詳情:
對於平面圖形A,如果存在一個圓,使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大於這個圓的半徑,則稱圖形A被這個圓所覆蓋.
對於平面圖形A,如果存在兩個或兩個以上的圓,使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大於這個圓的半徑,則稱圖形A被這些圓所覆蓋.
例如:圖1中①的三角形被一個圓覆蓋,②中的四邊形被兩個圓所覆蓋.
回答下列問題:
(1)邊長為1 cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是______ cm;
(2)邊長為1 cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是_____ cm;
(3)長為2 cm,寬為1 cm的矩形被兩個半徑均為r的圓所覆蓋,r的最小值是_____ cm.這兩個圓的圓心距是_____ cm..
【回答】
(1) ;(2);(3) , 1.
【解析】
試題分析:(1)邊長為1 cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋,則r應大於等於正方形對角線的一半,即半徑最小為;(2)當圓外接三角形時圓的半徑最小,如圖,根據勾股定理可求得圓的半徑是;(3)根據對稱*可知兩圓的交點分別是AD和BC的中點,將矩形分成兩個相等的小正方形,圓的最小半徑就是小正方形的對角線的一半,圓心距就是小正方形的邊長.
(1)以正方形的對角線為直徑做圓是覆蓋正方形的最小圓,半徑r的最小值=;
(2) 邊長為1 cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋,這個最小的圓是正三角形的外接圓,如圖作三角形ABC的高AD構成直角三角形ABD,斜邊AB=1,BD=,
所以AD=,因為三角形是正三角形,
所以∠ABC=60°,O是外心,所以∠OBC=30°,OD=OB,
設OA=OB=x,則OD=x,
在直角三角形OBD中,根據勾股定理列方程:,
解得:x=.
(3)如圖:矩形ABCD中AB=1,BC=2,
則覆蓋ABCD的兩個圓與矩形交於E、F兩點,
由對稱*知E、F分別是AD和BC的中點,
則四邊形ABFE、EFCD是兩個邊長為1的正方形,
所以圓的半徑r=, 兩圓心距= 1.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題